Vòng tròn lượng giác là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực lượng giác. Đây là công cụ trực quan và hiệu quả để giải quyết các bài toán về góc, hàm lượng giác (sin, cos, tan, cot) và mối quan hệ hình học trong mặt phẳng tọa độ. Bài viết này sẽ chia sẻ định nghĩa, tính chất và ứng dụng của vòng tròn lượng giác.

1. Khái niệm

Định nghĩa

Vòng tròn lượng giác là một vòng tròn có:

• Tâm là gốc tọa độ (0,0) trong hệ tọa độ Descartes.
• Bán kính bằng 1 đơn vị.

Vòng tròn lượng giác được sử dụng để biểu diễn các góc và giá trị của các hàm lượng giác như sin, cos, tan và cot trên mặt phẳng tọa độ.

Các yếu tố cơ bản

• Tâm của vòng tròn: Điểm O (0,0).
• Bán kính: Bán kính của vòng tròn là 1 đơn vị.
• Trục tọa độ: Trục hoành (Ox) và trục tung (Oy) chia vòng tròn thành bốn góc phần tư.

Biểu diễn góc

• Góc được đo từ trục hoành dương theo chiều ngược chiều kim đồng hồ. Góc này có thể là dương hoặc âm:
• Góc dương: Chiều ngược chiều kim đồng hồ.
• Góc âm: Chiều cùng chiều kim đồng hồ.
• Một vòng tròn đầy đủ tương ứng với 360° hoặc \(2\pi\) radian.
• Góc có thể được đo bằng độ (°) hoặc radian (rad), trong đó: \[ 180^\circ = \pi \text{ rad}. \]

2. Tính chất của vòng tròn lượng giác

Điểm đặc biệt

Vòng tròn lượng giác có các điểm đặc biệt trên trục tọa độ:

• (1, 0): Tương ứng với góc \(0^\circ\) hoặc \(0\) rad.
• (0, 1): Tương ứng với góc \(90^\circ\) hoặc \(\pi/2\) rad.
• (-1, 0): Tương ứng với góc \(180^\circ\) hoặc \(\pi\) rad.
• (0, -1): Tương ứng với góc \(270^\circ\) hoặc \(3\pi/2\) rad.

Các giá trị lượng giác của góc

Trên vòng tròn lượng giác, mỗi điểm trên vòng tròn đều liên quan đến một góc và có tọa độ \((x, y)\), trong đó:

• Giá trị cos của góc chính là hoành độ (\(x\)) của điểm.
• Giá trị sin của góc chính là tung độ (\(y\)) của điểm.
• Giá trị tan của góc được tính bằng \(\text{tan} = \frac{\text{sin}}{\text{cos}}\) (nếu \(\cos \neq 0\)).
• Giá trị cot của góc được tính bằng \(\text{cot} = \frac{\text{cos}}{\text{sin}}\) (nếu \(\sin \neq 0\)).

Góc đặc biệt

Vòng tròn lượng giác thường được sử dụng để biểu diễn các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:

– \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) (hoặc tương ứng bằng radian: \(0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2\)).

– Các giá trị sin, cos của các góc này thường được ghi nhớ qua bảng giá trị lượng giác cơ bản.

Quy luật về dấu

Trong mỗi góc phần tư, dấu của các hàm lượng giác thay đổi như sau:

• Góc phần tư I: sin, cos, tan, cot đều dương.
• Góc phần tư II: sin dương, cos và tan âm.
• Góc phần tư III: tan dương, sin và cos âm.
• Góc phần tư IV: cos dương, sin và tan âm.

Bảng giá trị lượng giác từ 0⁰ đến 360⁰

Công thức các cung liên kết trên đường tròn lượng giác

3. Ứng dụng

Vòng tròn lượng giác trong vật lý không chỉ là một công cụ toán học, mà còn là một cách trực quan và hiệu quả để biểu diễn các hiện tượng tuần hoàn. Nó giúp kết nối các đại lượng vật lý như biên độ, pha, và tần số ….

Ví dụ: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ 2 cm và tần số bằng 0,5 Hz. Lấy gần đúng π² = 10. Trong một chu kì khoảng thời gian vật có vận tốc nhỏ hơn $\sqrt 2 \pi $ cm/s và gia tốc lớn hơn 10 cm/s² bằng bao nhiêu?

Lời giải

• f = 0,5 Hz ⇒ ω = π rad/s
• A = 2 cm
• v_max = 2π cm/s
• a_max = 20 cm/s²

v = $\sqrt 2 \pi $ cm/s tại M ⇒ v < $\sqrt 2 \pi $ cm/s ứng với cung lớn M₁M₂ (không tô đậm).

a = 10 cm/s² tại N, a > 10 cm/s² ứng với cung nhỏ N₁N₂ (không tô đậm).

Cung N₂M₁ không tô đậm thỏa mãn cả 2 điều kiện của v và a: Δφ = 7π/12 ⇒ Δt = 7/12 s.

Vòng tròn lượng giác là công cụ trực quan và hiệu quả để nghiên cứu hàm lượng giác, giải bài toán về góc và đo đạc trong mặt phẳng tọa độ. Để nắm vững, học sinh cần rèn tư duy hình học, ghi nhớ giá trị cơ bản và áp dụng vào thực tế.