Một trong những kỹ năng cơ bản nhất khi làm bài tập lượng giác là biết ngay dấu của $\sin\alpha$, $\cos\alpha$, $\tan\alpha$, $\cot\alpha$ mà không cần bấm máy tính — chỉ cần nhìn góc $\alpha$ nằm ở đâu trên đường tròn lượng giác. Kỹ năng này đặc biệt quan trọng khi giải phương trình lượng giác, rút gọn biểu thức, hoặc kiểm tra nhanh đáp án trắc nghiệm.

Nếu chưa nắm được cấu tạo cơ bản của đường tròn lượng giác, các em nên đọc qua bài Đường tròn lượng giác là gì? trước khi tiếp tục.

1. Nhắc lại: tọa độ điểm trên đường tròn lượng giác

Với điểm $M$ trên đường tròn lượng giác ứng với góc $\alpha$, ta có:

$M(\cos\alpha; \sin\alpha)$

Nghĩa là:

• Hoành độ của $M$ (vị trí trái/phải so với trục $Oy$) chính là giá trị $\cos\alpha$
• Tung độ của $M$ (vị trí trên/dưới so với trục $Ox$) chính là giá trị $\sin\alpha$

Từ đó, dấu của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$ hoàn toàn phụ thuộc vào việc điểm $M$ nằm ở nửa nào của mặt phẳng — đây chính là cơ sở của toàn bộ quy tắc góc phần tư.

2. Bốn góc phần tư và dấu của sin, cos

Mặt phẳng tọa độ chia đường tròn lượng giác thành 4 góc phần tư:

Giải thích trực quan:

• Nửa trên trục $Ox$ (góc phần tư I và II): $\sin\alpha > 0$ vì tung độ dương
• Nửa dưới trục $Ox$ (góc phần tư III và IV): $\sin\alpha < 0$ vì tung độ âm
• Nửa phải trục $Oy$ (góc phần tư I và IV): $\cos\alpha > 0$ vì hoành độ dương
• Nửa trái trục $Oy$ (góc phần tư II và III): $\cos\alpha < 0$ vì hoành độ âm

3. Dấu của tan và cot

Vì $\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ và $\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, dấu của $\tan\alpha$ và $\cot\alpha$ tại một góc phần tư luôn giống nhau và được suy ra trực tiếp từ dấu của $\sin\alpha$, $\cos\alpha$ tại góc phần tư đó theo quy tắc “cùng dấu thì thương dương, khác dấu thì thương âm”:

4. Quy tắc ghi nhớ nhanh: “Nhất cả, nhị sin, tam tang, tứ cos”

Đây là câu thần chú quen thuộc giúp học sinh nhớ ngay dấu dương của từng góc phần tư mà không cần lập bảng:

• Nhất cả: góc phần tư I, tất cả 4 giá trị đều dương
• Nhị sin: góc phần tư II, chỉ sin dương (còn lại âm)
• Tam tang: góc phần tư III, chỉ tang (và cotang) dương
• Tứ cos: góc phần tư IV, chỉ cos dương

Chỉ cần nhớ câu này, các em có thể suy ra dấu của bất kỳ giá trị lượng giác nào tại bất kỳ góc phần tư nào — giá trị nào không được nêu tên trong câu thần chú tại góc phần tư đó thì mang dấu âm.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định dấu của $\sin\frac{5\pi}{6}$ và $\cos\frac{5\pi}{6}$.

Ta có $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$, nên góc này thuộc góc phần tư II. Theo quy tắc “nhị sin”: chỉ sin dương, cos âm.

$\sin\frac{5\pi}{6} > 0, \quad \cos\frac{5\pi}{6} < 0$

Ví dụ 2: Cho $\alpha$ thỏa mãn $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Xác định dấu của $\tan\alpha$.

Góc $\alpha$ thuộc góc phần tư III. Theo quy tắc “tam tang”: tang dương.

$\tan\alpha > 0$

Ví dụ 3 (vận dụng cao hơn): Cho biết $\sin\alpha < 0$ và $\cos\alpha > 0$. Hỏi $\alpha$ thuộc góc phần tư nào?

Nhìn vào bảng: $\sin$ âm và $\cos$ dương chỉ xảy ra ở góc phần tư IV.

6. Lưu ý khi áp dụng với góc âm hoặc góc lớn hơn $2\pi$

Vì tính tuần hoàn của các hàm lượng giác, để xác định góc phần tư của một góc bất kỳ, ta luôn có thể quy về góc trong khoảng $[0; 2\pi)$ bằng cách cộng hoặc trừ đi bội số của $2\pi$:

$\alpha’ = \alpha – k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}, \ 0 \le \alpha’ < 2\pi)$

Sau đó áp dụng bảng dấu như bình thường với $\alpha’$.

Kết luận

Việc thuộc lòng quy tắc “nhất cả, nhị sin, tam tang, tứ cos” giúp các em tiết kiệm rất nhiều thời gian khi làm bài tập, đặc biệt là các câu trắc nghiệm yêu cầu xét dấu nhanh. Kỹ năng này cũng là bước đệm quan trọng để học tiếp phần [biểu diễn nghiệm phương trình lượng giác] ở các bài sau.

Bài tiếp theo: [Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt trên đường tròn]. Các em cũng có thể tải hình ảnh và bảng tổng hợp đầy đủ tại Đường tròn lượng giác: file PDF/hình ảnh tổng hợp tải về miễn phí.